Ek het tot die besef gekom dat ons soveel dinge as vanselfsprekend aanvaar. Ons ry rond met blink, vinnige motors, vlieg in vliegtuie rond en het skoon vergeet van die era van die ossewa. So sit ek voor my rekenaar en het selfs op my selfoon die wêreld se kennis tot my beskikking.
Een gebied waarvan ek die ontwikkeling gedurende my agt dekades op aarde intens beleef het, het te doen met berekeninge.
- Breinkrag
In 1946 het ek in ’n plaasskooltjie by juffrou Griet Coetzee in graad 1 met somme kennis gemaak: 1 hasie + 1 hasie = 2 hasies. Gou het ek besef dat ’n mens die hasies maar kan weglaat. Ons kon ook die krale van die telraam (abakus) rondskuif om ’n gevoel vir getalle te kry. Volgens historici is die telraam in die antieke tye (ongeveer 2000 vC) in Mesopotamië uitgevind. Gevorderde variasies daarvan word nog steeds in sekere Oosterse lande soos China gebruik.[1]
’n Tipiese skool-telraam (fotobron: https://pixabay.com/photos/abacus-classroom-count-counter-1866497/)
Gou het ons ook geleer om enkelgetal-aftreksomme te maak. Die volgende stap was somme met kolomme van tiene en ene (TE) en honderde tiene en ene (HTE). Die vangplek was die oordra van tiene van een kolom na die ander. Voordat ons maalsomme kon doen, moes ons tafels uit ons koppe leer. Vandag nog is 9x7=63 en vele ander diep in my brein gegraveer. Dit het ons in staat gestel om dubbelkolom-maalsomme te doen.
Vir deelsomme was daar kort deling en lang deling. Ons het selfs die langdelingmetode gebruik om vierkantswortels te trek.[2]
In die tabel hier onder word die deelsom 500/4 (= 125) op die twee maniere gedoen en die vierkantswortel van 8 281 (= 91) bepaal. Ek moet erken dat die teorie agter die vierkantswortelberekening nog steeds Grieks vir my is, maar dit werk.
Ons het ook geleer om geldsomme te maak. Terugskouend was die somme met 12 pennies in die sjieling en 20 sjielings in die pond goeie breingimnastiek. Om 12 pond 5 sjielings en 8 pennies by 6 pond 3 sjielings en 4 pennies bymekaar te tel, lyk nou soos ’n reusetaak, maar elke laerskoolleerling moes dit destyds kon doen. Daan Desimaal en desimalisasie het in 1961 tot ons redding gekom.
- Logaritmes
Tot standerd 6 (deesdae graad 8) was die handberekeninge al gereedskap wat ons gehad het. Wat maal- en deelsomme betref, het daar op hoërskool uitkoms gekom: logaritmes. Om twee getalle met mekaar te vermenigvuldig, slaan jy die logaritme van die getalle na in logaritmetabelle, wat in ’n boekie beskikbaar is.
Die logaritme van ’n getal is die mag waartoe die grondtal (gewoonlik 10) verhef moet word om die getal te gee. Dit kan van die tabelle afgelees word. So byvoorbeeld is 10 0,3010= 2 en dus is log (2) = 0,3010. Ook is 10 0,4771 = 3, dus is log (3). Om 2x3 te bereken, word die logaritmes van 2 en 3 bymekaar getel, dus 0,3010 + 0,4771 = 0,5072. In die logaritmeboekie is daar ook antilogaritmes, wat die inverse operasie gee. In hierdie geval is antilog (0,5072) = 10 0,5072 = 6,00, wat die korrekte antwoord vir 2x3 is.
Die voordeel van logaritmes is dat twee groot getalle met mekaar vermenigvuldig kan word sonder om deur die tydrowende en onakkurate langvermenigvuldigingsproses te gaan. Die hele proses word dus omskep in ’n optelsom van die logaritmes. Om akkurater bewerkings te kan doen, het landmeters byvoorbeeld ook 7-syfer-logaritmetabelle. Deelsomme kan ook gedoen word deur die logaritmes van mekaar af te trek.
- Meganiese optelmasjiene
’n Verdere moontlikheid was om ’n meganiese optelmasjien te gebruik. Deur syfers in te tik en die slinger te draai, word die antwoord uiteindelik verkry. Vermenigvuldiging en deel was ook moontlik deur herhaaldelike bymekaartel of aftrek. Heel ingewikkelde berekeninge kon daarmee gedoen word.[3]
- Skuifliniale
Tydens my eerste jaar as ingenieurstudent in 1958 het ek vir die eerste keer kennis gemaak met die skuifliniaal, vir baie jare die ingenieur se beste vriend om komplekse ontwerpsberekeninge mee te doen.[4]
Tipiese skuifliniaal. Die 1 op die onderste skaal op die skuifgedeelte (C) is regoor 2 op die onderste skaal op die vaste gedeelte (D). Die antwoord vir 2x4 (=8) word op skaal (D) afgelees, regoor 4 op skaal (C).
(Die skuifliniaal het aan my dosent, prof A Heydorn, behoort en is deur sy seun, Alain, aan my geleen.)
Die werking van die skuifliniaal berus op logaritmes. Die indelings op die liniaal is nielineêr (logaritmies). Tydens vermenigvuldiging word die lengtes bymekaargetel, sodat die antwoord afgelees kan word. Met die skuifliniaal kan ook gedeel en verskeie ander gevorderde bewerkings uitgevoer word.
Wat die gebruik van ’n skuifliniaal ’n kuns maak, is dat die posisie van die antwoord se desimale komma deur die gebruiker bepaal moet word. As 238 byvoorbeeld met 596 vermenigvuldig word, word die getalle op die skuifliniaal as 2.38 en 5.96 hanteer en die posisie van die? desimale punt moet uitredeneer word.
Tot 1970 was die skuifliniaal die enigste reken-hulpmiddel wat gewone ingenieurs tot hulle beskikking gehad het. Brûe, kragstasies, vliegtuie en veel meer is daarmee ontwerp. Die moontlikhede vir afleesfoute en foute met die bepaling van die posisie van die desimale punt was legio, veral as lang kettingberekeninge gedoen word, waar resultate in opeenvolgende berekeninge gebruik word. So kan foute oorgedra en versterk word.
Vir my, deurmekaar kop wat ek is, was dit ’n gedenkwaardige dag toe ek my skuifliniaal kon wegbêre. Die era van elektroniese rekenaars het aangebreek. Groot elektroniese rekenaars (mainframe computers) was stadig besig om na vore te tree. In die vroeë jare sestig het die Universiteit Stellenbosch ’n IBM 1620-rekenaar in gebruik geneem. Dit is egter slegs vir besonderse projekte gebruik.
Nadat ek my graad as elektriese ingenieur gekry het, is ek deur Eskom na Engeland vir verdere praktiese opleiding gestuur. Daar het ek onder meer geleer oor die gebruik van groot rekenaars om die kragstelsel mee te ontleed.
- Elektroniese tafelrekenaars
Toe ek in 1966 na Eskom in Suid-Afrika terugkeer, was die skuifliniaal nog die gewone ingenieur se primêre gereedskapstuk en sakrekenaars soos ons hulle vandag ken, het nog nie bestaan nie. Ek onthou nog hoe ons op ’n dag in ’n kantoor om ’n elektroniese Facit-tafelrekenaar saamgedrom het. Tik 2*3 in en die antwoord verskyn op die skerm. Deesdae kan sakrekenaars wat meer kan doen as daardie tafelrekenaar, spotgoedkoop by supermarkte gekoop word, maar ons was gaande oor die nuwe speelding.
Die syfers op die skerm het helder gegloei en het bestaan uit sogenaamde Nixie gasgevulde buise. Die leeftyd van die elektroniese tafelrekenaars was egter kort, want hulle het met die koms van die sakrekenaar verdwyn.
- Sakrenaars
Ek het in 1971 by die Universiteit Stellenbosch aangesluit as ingenieursdosent. In 1972 het Hewlett Packard die HP-35-sakrekenaar bekendgestel en toe ’n dosent aan die einde van 1972 ná ’n studiebesoek aan Engeland terugkeer, het hy ’n HP-35 saamgebring. Dit was manna uit die hemel – met die druk van enkele knoppies kon die moeilikste berekeninge kafgedraf word.
’n Moderne HP 48-sakrekenaar (bron: cesarlins, https://pixabay.com/photos/calculator-hp48-engineering-2830400/)
Die HP-rekenaars het die omgekeerde Poolse notasie gebruik. In plaas van “2+3 =” tik ’n mens “2” ENTER “3”, gevolg deur “+” en die antwoord verskyn op die skermpie.
Na die HP-35 het daar ’n reeks modelle verskyn, elke keer beter (en nie noodwendig duurder nie), onder andere die HP-45, HP-25 en HP-41C. Van die later modelle was programmeerbaar en jy kon jou eie programme daarop stoor of bestaande standaardprogramme gebruik.
Ander vervaardigers het ook aan die sakrekenaarresies deelgeneem, oa Casio en Sharp. My gunsteling was ’n Sharp-rekenaar soos die een hier onder. Dit was programmeerbaar in BASIC, ’n hoëvlak-rekenaartaal (kyk hier onder).
- Rekenaartale
Vir my was dit ’n heuglike dag toe rekenaars beskikbaar geword het en ek aan die rekenaar instruksies kon gee om my somme vir my te doen. Sê vir die rekenaar A=3 en B=5 en vra vir die rekenaar: Wat is C=A+B? Die rekenaar gee die antwoord: C=8. Die instruksies word ’n rekenaartaal genoem. Iemand in Engeland het in die sestigerjare goedgunstiglik vir my ’n handleiding oor die rekenaartaal FORTRAN gegee. Dit was lekker leesstof. Daarin is verduidelik hoe instruksies aan ’n rekenaar oorgedra kan word. Die instruksies kan baie kompleks wees met opeenvolgende stappe en instruksies kan herhaaldelik uitgevoer word, soveel keer as wat jy spesifiseer.
’n Vroeë rekenaar (bron: sergeitokmakov, https://pixabay.com/photos/old-computer-8bit-technology-retro-4962269/)
Rekenaars het ’n groot rol in my loopbaan as ingenieur en universiteitsdosent gespeel. Ek was weliswaar nie van die wêreld se beste programmeerders nie, maar die rekenaar was ’n gewillige slaaf om my probleme op te los. Soos reeds genoem, word die instruksies aan die rekenaar oorgedra met behulp van rekenaartale. Instruksies soos dié hier bo, wat vir my verstaanbaar is, word “vertaal” en verwerk (saamgestel, compiled) sodat die rekenaar se elektroniese logika dit kan verwerk.
Die taal Fortran (van Formula Translating System) is geskep deur die groot rekenaarvervaardiger IBM en was een van die eerste rekenaartale. Dit is baie formeel en baie streng daarop ingestel dat die sintaksis reg moet wees, met al die punte en kommas op die regte plek.[5]
Kommunikasie met die groot rekenaars wat ek by Eskom, Wits en Stellenbosch-universiteit gebruik het, was deur middel van geponste kaarte. Die Fortran-program se instruksies word op ’n ponsmasjien ingetik, wat dan die kaarte pons.
Die kaarte word dan by die rekenaar ingevoer om die instruksies uit te voer en die antwoorde word uitgedruk. Tydens my studies by Wits en US het ek nagte by rekenaars deurgebring om ’n beurt te kry om die pakke geponste kaarte deur die rekenaar te stuur en te wag dat die resultate uitgespoeg word.
Later is eenvoudiger en vriendeliker rekenaartale soos Basic[6] vir kleiner rekenaars ontwikkel. Ander meer gesofistikeerde rekenaartale was Pascal[7] en Turbopascal[8] en Matlab.[9] Deesdae is objekgeoriënteerde programme soos Java en Python[10] aan die orde van die dag. Die tale is veral geskik vir gebruik op kleiner rekenaars soos persoonlike rekenaars en mikrobeheerders.
Deesdae kan ingewikkelde berekeninge ook moeiteloos uitgevoer word met sigbladprogramme (spread sheets) soos Excel.[11]
- Hoofraamrekenaars, minirekenaars en persoonlike rekenaars
Soos vroeër genoem, het groot maatskappye en universiteite sedert die sestigerjare mettertyd groot hoofraamrekenaars geïnstalleer. Die rekenaars het ook algaande groter en vinniger geword soos wat nuwe tegnologieë in die elektronikabedryf ontwikkel het. Intussen het kleiner rekenaars, die sogenaamde minirekenaars (minicomputers) ook veld gewen. Waar ’n hoofraamrekenaar ’n rekensentrum met operateurs en lugreëling vereis het, kon minirekenaars soos die Varian in ’n laboratorium gehuisves word.
’n Logiese verdere ontwikkeling was die mikrorekenaar en die persoonlike rekenaar (PC). Die persoonlike rekenaar is ingestel op individuele gebruik en het sedert die 1970’s geweldig veld gewen. Aanvanklik was dit ’n lessenaarmodel (desktop model), maar deesdae is die skootrekenaar (laptop) baie algemeen.
Slimfoon se fotobron: ID 6689062, https://pixabay.com/photos/business-computer-mobile-smartphone-2846221/
Die logiese uitvloeisel van al die voorgaande is natuurlik die internet en die wêreldwye web. Google en ander soekenjins lê die wêreld se kennis aan ons voete. Met behulp van webtuistes soos dié van die Wolfram Alpha-soekenjin[12] kan ’n magdom berekenings en wiskundige bewerkings gedoen word.[13]
- Ten slotte
Ek staan verstom as ek terugkyk na al die ontwikkelings wat ek beleef het. Ek ag myself gelukkig dat ek in hierdie tydvak kon leef en werk. Terselfdertyd is ek steeds meer beïndruk met die groot ingenieurs en wetenskaplikes wat in die verlede, sonder die hulp moderne rekenaars, soveel kon vermag.
Bronne
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Abacus
[2] https://www.youtube.com/watch?v=Ga1_wuLz0QM
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Adding_machine
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Slide_rule
[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Fortran
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/BASIC
[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal_(programming_language)
[8] https://en.wikipedia.org/wiki/Turbo_Pascal
[9] https://en.wikipedia.org/wiki/MATLAB
[10] https://en.wikipedia.org/wiki/Python_(programming_language)
[11] https://en.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel
[12] https://en.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha
[13] https://www.wolframalpha.com/examples/pro-features/step-by-step-solutions
Kommentaar
Man, dit is asof ek die stuk geskryf het. Dit bring baie herinneringe terug. Ja, die aande/oggende wat ek by Ikeys, in die gang voor die IBM S36-rekenaarkamer gesit het, net vir die masjien om een van my kaarte te skeur, en dan moet ek dit oorpons en weer AGTER in die ry inval. Ek is seker jy moes dit ook beleef het.
Dankie vir die stukkie en sterkte. Ons het Fortran 4 gedoen.
Ollie.
Dankie, Arthur.
Daar is so baie goed waaarvan vandag se mense nie weet nie. Die artikel se bedoeling is om sulke goed in herinnering te roep.
Groete
Koos
Koos, inderdaad goeie herinneringe.
'n Klein berekenings korreksie is nodig in par 2:
log(2) + log(3) = (0.3010 + 0.4771) = 0.7782 [nie 0.5072]
antilog(0.7782) = 6
Hierdie artikel mag dalk ook interessant wees: Villarreal-Calderon, Rafael (2008) "Chopping Logs: A Look at the History and Uses of Logarithms," The Mathematics Enthusiast: Vol. 5 : No. 2 , Article 15.
Groete,
Louis
Dankie, Louis.
Die foutjie is duidelik 'n vingerglips.
Ek waardeer jou wakker oog.
Groete
Koos
Beste Louis
Dankie ook vir die verwysing na die interessante artikel oor die ontstaan van logaritmes.
Uit die aard van die saak kon ek nie alles inneem nie, maar die laaste paragraaf sê baie: "In writing this paper I have learned a great deal about these calculation aids. But perhaps more importantly, I have realized that figuring out mathematical operations and tricks certainly takes significant amounts of effort, time, and devotion. Today, we often take for granted those symbols and explanations that are neatly compiled into math and science textbooks. It is easy to forget that every equation encases a story: frustration, fascination, arduous work, friendly collaborations, disappointment, and the occasional serendipity. Mathematics is not just about numbers, but it is also about the people whose work gives us the luxury and pleasure of understanding."