Litnet

’n Vierkant kan opgesny word in kleiner vierkante wat dan gebruik kan word om twee vierkante te maak.  Sny byvoorbeeld ’n vierkant in 25 blokkies en daarvan kan dan ’n 3x3 en ’n 4x4 vierkant gemaak word.  ’n Kubus, egter, kan jy nooit in kleiner kubusse opsny waarvan jy dan twee kleiner kubusse kan maak nie (deel van Fermat se stelling wat stel dat  xⁿ+ yⁿ≠ zⁿ vir n > 2,vir enige heelgetal-waarde van x, y, z en n (in hierdie geval vir n=3)).

Hier is my verklaring (seker geen streng bewys nie) oor hoekom nie.

Beskou ’n kubus wat uit n³ kubusse bestaan, met ander woorde van grootte n by n by n.  Om die kubus met een eenheid te vergroot –  met ander woorde (n+1)*(n+1)*(n+1) – word ’n enkellaag kubusse op drie van die sye geplaas (aantal 3n²), ’n ry kubusse tussen elke twee sye (aantal 3n, - sien derde sketsie hieronder) plus een kubus in die hoek om die nuwe kubus te voltooi.  In totaal het die kubus dan 3n²+3n+1 kubusse bygekry en die nuwe aantal is dus n³+3n²+3n+1 (wat dan ook die antwoord is van (n+1)³).

Indien die n*n*n kubus met twee lae vergroot word (maw nuwe grootte is (n+2)*(n+2)*(n+2)), word 2n² op elke sy geplaas, dus 3*2n²,

2*2*n tussen elke twee sye, dus 3*4n vir al drie gapings en

2*2*2 in die hoek om die kubus te voltooi.  In totaal dus 3n2+3*2*2*n+2*2*2. 

Algemeen dus, vir k lae, is die formule 3kn²+3k²n+k³.

Beskou ’n eenheidskubus, grootte 1 by 1 by 1, maw n=1.  Om hom te vergroot met ’n enkellaag (k=1) is die hoeveelheid 3.1.1²+3.1².1+1³ = 7,

vir ’n dubbellaag is (k=2) is dit 3*2*1²+3*2²*1+2³ = 26,

vir ’n driedubbele laag werk dit uit op 63,

vir vier lae 124 ens,

’n getal van die vorm m³-1 (logies want dit is net so goed jy vat ’n kubus van grootte m* m* m en verwyder ’n kubus uit die een hoek uit).

Die verskil tussen opeenvolgende derdemagte op die getallelyn (met ander woorde 8-1, 27-8, 64-27 ens) is, algemeen geskryf, (n+1)3 –n3 = 3n2+3n+1.  Tussen alternatief opvolgende derdemagte is dit (n+2)³-n³=3n²+3*2*2*n+2*2*2.  Algemeen, tussen enige twee derdemagte, is dit (n+k)³-n³ wat dan 3kn²+3k²n+k³ gee, presies dieselfde waarde/formule as die hoeveelheid kubusse van 'n k-dik skil op ’n n*n*n kubus.

Aangesien die lae wat bygevoeg word by ’n kubus om ’n groter kubus te vorm die reeks met algemene term 3kn²+3k²n+k³ is, dieselfde as die verskille tussen die derdemagte, kan daardie hoeveelheid nooit ’n derdemag op die getallelyn tref nie omdat die beginterm van die reeks van die vorm m³-1 is.

*******************

Die redenasie werk vir n=4 ook (en, reken ek vir enige n=3) want (x+k)n-xn (die hoeveelheid in ’n k-dik skil) lewer beginterme van ’n reeks 1 minder as die n^demag op die getallelyn (dit is net baie moeilik om grafies voor te stel hoe hiperkubusse op die kante van ’n hiperkubus geplaas word).  Soos hierbo is die verskille tussen die magte (hetsy opeenvolgend, alternatief, elke derde een of wat ook al) net so groot as die verskille tussen die ooreenstemmende skille.  As so ’n verskil by ’n  nie-n^demag getel word kan die antwoord dus nooit ’n n^demag wees nie.

Vir n=2, met ander woorde vierkante lewer (x+k)²-x² ook reekse met beginterm een minder as ’n kwadraat (vet skrif hieronder) maar die verskil in kwadrate op die getallelyn is ’n rekenkundige reeks, nl 3,5,7,9 ..... en die verskille tussen die skille is ook rekenkundige reekse (3,5,7,9,11 ... vir opeenvolgend; 8,12,16,20 .. vir ’n dubbelskil,15,21,27,33 ... vir k=3 ens).  Die kwadrate op die getallelyn ‘hol nie weg’ vir die skilhoeveelhede nie (mod(2kn+k²,n) stabiliseer op ’n kwadraat (k²) terwyl mod(3kn²+3k²n+k³,n) vir n>2 na ’n paar bokspringe eksponensieel vergroot.