Naand, Jan
Ek het nou op dié manier geredeneer oor hoekom x^3 + y^3 = z^3 onmoontlik is.
Die ding werk so:
Om enige n.n.n kubus te vergroot moet mens ʼn laag van n.n (of n^2) kubussies op elk van drie vlakke plaas, dan die drie vlakke verbind deur ʼn ry van n kubussies tussen hulle te plaas en dan die nuwe vergrote kubus voltooi deur die laaste enetjie in die hoek te sit. Dis nou as ʼn enkele laag, of skil, bygevoeg word.
Sou mens meer lae, sê k lae, byvoeg, dan is daar natuurlik k.n^2 kubussies op elk van drie vlakke, n.k^2 kubussies in die drie rye tussen die drie vlakke en k^3 kubussies om die nuwe kubus te voltooi. Wiskundig reduseer dit dan na 3.k.n^2 + 3.n.k^2 +k^3 waar n (die aantal kubussies per sy van die oorspronklike kubus) en k (die aantal lae of dikte van die skil) enige positiewe heelgetal kan wees.
(ʼn Ander manier om die aantal ekstra kubussies te bereken is natuurlik die aantal kubussies in die vergrote kubus, naamlik (n+k)^3, minus die aantal kubussies in die oorspronklike kubus naamlik n^3, maw (n+k)^3 - n^3 = 3.k.n^2 + 3.n.k^2 +k^3, presies soos hierbo.)
Neem mens die eenvoudigste geval, naamlik ʼn enkele kubus (n=1), en jy voeg om die beurt een, twee, drie ens lae by (k=1, 2, 3 ... ens), kry jy die reeks 7, 26, 63, 124 ... ens, elke keer presies net een minder as ʼn derdemag (logies, want mens begin met een kubus).
Dit is dus duidelik dat jy nooit ʼn kubus kan vorm met die ekstra kubussies wat jy by ʼn enkele voeg om ʼn groter kubus te maak nie. Die verskille tussen die opeenvolgende terme is presies die verskille tussen die derdemagte, so as jy dit sou stip op die getallelyn, is elke term van hierdie reeks altyd net een verwyder van die punte wat die derdemagte aandui.
Met die volgende geval, naamlik 8 kubussies (n=2) om mee te begin en k=1, 2, 3 ... ens, gebeur presies dieselfde. Die reeks 19, 56, 117, 208 ... ens word gegenereer en die verskille tussen hierdie opeenvolgende terme is weer eens dieselfde as tussen die opeenvolgende derdemagte. Sou mens dit dus stip op die getallelyn is elke term 8 posisies agter ʼn derdemag en tot in die oneindigheid sal hy 8 agter die volgende derdemag bly.
Net so met die res van ‘aanvangskubusse' naamlik n=3, 4, 5 ... ens: Die onderskeie reekse gegenereer deur 3.k.n^2 + 3.n.k^2 +k^3 is sodanig dat elke term die aanvangskubus se aantal kubussies minder as die volgende derdemag is. Nooit dus sal enige aantal ekstra kubussies ʼn derdemag wees nie. Terloops, die aanvangskubusse (maw k=1 en n=1, 2, 3 ...) vorm die reeks 7, 19, 37, 61, ..., presies die verskille tussen die derdemagte op die getallelyn.
Mens kan nou wel aanvoer hoekom geld dieselfde argument nie vir kwadrate nie. Daar het jy my. Wat 4de magte en hoër betref, daar het jy my ook.
Was dit nie vir Fermat nie, het ek al my vywer en gazebo klaar gebou gehad.
Groetnis
Jan Rap